Контрольні роботи ВАРІАНТ 2: Кр.6 (6.2)

6*. Відрізок, паралельний основам a i b трапеції, ділить її на дві рівновеликі фігури. Яка довжина цього відрізка?

Дано: ABCD – трапеція, BC $\parallel$ AD, BC = a,

AD = b, a < b, MN $\parallel$ BC $\parallel$ AD, т. М $\in$ AB,

т. N $\in$ CD, S_AMND = S_MBCN.

Знайти: MN.

Розв’язання:

1) Нехай MN = x, проведемо ВЕ – висота ABCD, т. Н $\in$ ВЕ, ВН = h₁ – висота MBCN, HE = h₂ – висота AMND.

2) S_MBCN = S_AMND, тоді $\frac{a+x}{2}$ • h₁ = $\frac{x+b}{2}$ • h₂; $\frac{h_1}{h_2}$ = $\frac{x+b}{a+x}$.

3) проведемо BK $\parallel$ CD, BK $\cap$ MN = т. Р, тоді $∆$MBP $~$ $∆$ABK (за двома кутами): в $∆$MBP : MP = x – a, висота h₁;

в $∆$АВК : АК = b – a, висота h₁ + h₂;

з подібності відношення відповідних висот = відношення основ:

$\frac{h_1}{h_1+h_2}$ = $\frac{x-a}{b-a}$; $\frac{h_1+h_2}{h_1}$ = $\frac{b-a}{x-a}$; 1 + $\frac{h_2}{h_1}$ = $\frac{b-a}{x-a}$;

$\frac{h_2}{h_1}$ = $\frac{b-a}{x-a}$ – 1 = $\frac{b-a-(x-a)}{x-a}$ = $\frac{b-a-x+a}{x-a}$ = $\frac{b-x}{x-a}$ $\Rightarrow$ $\frac{h_1}{h_1}$ = $\frac{x-a}{b-x}$.

4) перевіряємо відношення $\frac{h_1}{h_2}$ з 2 і 3 пунктів:

$\frac{x+b}{a+x}$ = $\frac{x-a}{b-x}$;

(x + b)(b – x) = (x – a)(a + x);

b² – x² = x² – a²;

2x² = b² + a²;

x = $\sqrt{\frac{b^2+a^2}{2}}$.

Відповідь: $\sqrt{\frac{b^2+a^2}{2}}$.