Контрольні роботи ВАРІАНТ 2: Кр.4 (6.2)

6*. Сума кутів при одній зі сторін трикутника дорівнює 90°. Доведіть, що його висота, проведена до цієї сторони, є середнім пропорційним між проекціями двох інших сторін на дану сторону.

Дано: $∆$АВС, $\angle$А + $\angle$В = 90$°$; СН $\perp$ АВ.

Довести: СН² = АН • НВ (СН – середнє пропорційне між АН і НВ).

Доведення

Оскільки $\angle$А + $\angle$В = 90$°$, то $\angle$АСВ = 180$°$ – 90$°$ = 90$°$, отже $∆$АВС – прямокутний з гіпотенузою АВ.

У $∆$АСН і $∆$СВН: $\angle$АНС = $\angle$СНВ = 90$°$; $\angle$АСН = 90$°$ – $\angle$А = $\angle$В.

$∆$АСН $~$ $∆$СВН (за двома кутами) $\Rightarrow$ $\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{CH}}$ = $\frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{HB}}$ $\Rightarrow$ CH² = AH • HB, що й треба було довести.