Контрольні роботи ВАРІАНТ 1: Кр.4 (6.2)

6*. Діагональ трапеції ділить її на два подібні трикутники. Доведіть, що ця діагональ є середнім пропорційним між основами даної трапеції.

Дано: ABCD – трапеція, BD – діагональ,

$∆$ABD $~$ $∆$DCB.

Довести: BD = $\sqrt{\mathrm{AD}•\mathrm{BC}}$.

Доведення

Розглянемо $∆$ABD та $∆$DCB.

1) $\angle$ADB = $\angle$CBD (внутрішні різносторонні при AD $\parallel$ BC та січній BD);

2) $∆$ABD $~$ $∆$DCB (за умовою);

З подібності трикутників маємо:

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BD}}$ = $\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BC}}$ $\Rightarrow$ BD² = AD • BC $\Rightarrow$ BD = $\sqrt{\mathrm{AD}•\mathrm{BC}}$;

Діагональ BD є середнім пропорційним між основами AD i BC.

Що й треба було довести.