Контрольні роботи ВАРІАНТ 2: Кр.3 (6.2)

6*. Доведіть, що середини сторін ромба є вершинами прямокутника.

Дано: ABCD – ромб; AC $\perp$ BD;

M, N, P, K середини сторін;

AB, CB, CD, DA відповідно.

Довести: MNPK – прямокутник.

Доведення:

У $∆$АВС – MN середня лінія, тому MN $\parallel$ AC;

MN = $\frac{1}{2}$AC.

У $∆$ADC – KP середня лінія; KP $\parallel$ AC; KP = $\frac{1}{2}$AC.

Отже, MN $\parallel$ KP MN = KP, тому MNPK – паралелограм.

У $∆$ABD MK – середня лінія, тому MK $\parallel$ BD.

AC $\perp$ BD (діагоналі ромба), а сторони чотирикутника MNPK. паралельні діагоналям (MN $\parallel$ AC та MK $\parallel$ BD), то сторона MN $\perp$ MK $\angle$NMK = 90$°$.

Паралелограм, який має хоча б один прямий кут, є прямокутником

що й треба було довести.