Вправи: 814

814. Перпендикуляр, опущений з вершини прямокутника на його діагональ, ділить її у відношенні m : n. Як відносяться сторони прямокутника.

ABCD — прямокутник. BK ⊥ AC;

AK : KC = m : n.

Нехай AK = mх, KC = nх.

Тоді BK² = mnx², BK = хmn.

∆ABK: AB² = BK² + AK² = x²mn + m²x² = x²(mn + m²), AB = xmn+m2.

∆BKC: BC² = BK² + KC² = mnx² + n²x² = x²(mn + n²),

BC = xmn+n2.

ABBC = mn+ m2mn+ n2 = m(n+ m)n(m+ n) = mn.

Стор.170

Задачі за готовими малюнками

А.

1. BC ∥ AD, AB = BC = CD = 10, ∠A = 60°. AD, BH – ?

BC ∥ AD, AB = BC = CD = 10. ∠ = 60°. CF ⊥ AD, ∆ABH.

AH = 12АВ = 5, тому що ∠ABH = 30°. AH = FD. BC = HF = 10;

AD = AH + HF + FD = 5 + 10 + 5 = 20.

BH = 100-25 = 75 = 53.

Відповідь: AD = 20; BH = 53.

Б.

OA = 2, SP = 8. AP – ?

б) OA = 2, SP = 8. OA ⊥ АР, SB ⊥ AP, OA ∥ SP. OS = 2 + 8 = 10 см.

OK ⊥ SP. OK = AP.

SK = SP – OA = 8 – 2 = 6 см.

∆SOK — прямокутний.

OK² = OS² – SK² = 100 – 36 = 64, OK = 8 м. AP = 8 см.

Відповідь: 8 см.

2. AB = BC, AH ⊥ BC. AC – ?

б) AB = BC, AH ⊥ BC. ∆ABH.

BH² = AB² – AH₂ = 675 – 576 = 49, BH = 7 см. HC = 25 – 7 = 18 см.

∆AHC.

AC² = AH² + HC² = 576 + 324 = 900, AC = 30.

Стор.172

Самостійна робота

Варіант 1

1. Знайди сторону ромба, якщо його діагоналі дорівнюють 16 см і 12 см.

Нехай ABCD — ромб. AC = 12 см, BD = 16 см.

BD ⊥ AC, ∆АОВ — прямокутний.

AO = 12АС = 6 см; BO = 12BD = 12 • 16 = 8 см. ∆АОВ за теоремою Піфагора: AB² = AO² + BO², AB² = 36 + 64, AB² = 100.

AB = 100 = 10 см.

Відповідь: сторона ромба 10 см.

Варіант 2

1. Знайди висоту рівнобічної трапеції, основи якої дорівнюють 7 см і 17 см, а бічна сторона 13 см.

ABCD — трапеція.

AB = CD, BC = 7 см, AD = 17 см,

BK ⊥ AD, CM ⊥ AD.

AK = MD = (17 – 7) : 2 = 5 см.

∆ABK: BK² = AB² – AK² = 169 – 25 = 144.

BK = 12 см.

Варіант З

1. Сторона ромба дорівнює 15 см, а діагональ 24 см. Знайди

другу діагональ ромба.

ABCD — ромб, AB = 15 см; BD = 24 см.

∆AOB — прямокутний.

OB = 12 см. За теоремою Піфагора:

AO² = AB² – OB² = 225 – 144 = 81.

AO = 9 , AC = 18 см

Відповідь: 18 см.

Варіант 4

1. Знайди більш у бічну сторону прямокутної трапеції, основи якої дорівнюють 9 см і 14 см, а висота 12 см.

ABCD — прямокутна трапеція.

CK ⊥ AD, CX = 12 см, BC = 9 см, AD = 14 см.

∆CKD — прямокутний.

KD = AD – BC = 14 – 9 = 5 см.

CD² = 144 + 25 = 169, CD = 13 см.

Відповідь: 13 см.

Стор.174

Типові задачі для тематичного контролю

5. Знайди периметр рівнобедреного трикутника, основа якого дорівнює 16 см, а бічна сторона на 4 см більша за висоту, проведену до основи.

∆АВС, AB = BC, AC = 16 см, BC – BK = 4 см.

AK = 12АС = 8 см, ВК = х, BC = х + 4.

∆BKC, за теоремою Піфагора:

BC² = KC² + BK².

(х + 4)² = 64 + x², x² + 8х + 16 = 64 + x²,

8х = 48, х = 6. BK = 6 см;

BC = 10 см, AB = 10 см.

P_∆ABC = 10 + 10 + 16 = 36 см.

Відповідь: 36 см.

9. Сторони трикутника дорівнюють 13 см, 14 см і 15 см. На які відрізки ділить середню за довжиною сторону висота, проведена до неї?

∆ABC. AK ⊥ BC.

Нехай ВК = х, KC = 14 – х.

∆ABK: AK² = AB² – BK² = 169 – х²,

∆AKC: AK² = AC² – KC² = 225 – (14 – х)², 169 – х² = 225 – (4 – x)².

169 – х² = 225 – 196 + 28х – х²,

28х = 140, х = 5. BK = 5 см,

KC = 14 – 5 = 9 см.

Відповідь: 5 см, 9 см.