Вправи: 534

534. Розглянь малюнок 9.27, на якому зображено послідовну побудову трикутника (решітки) Серпінського. Подумай і встанови алгоритм побудови такого трикутника. Спробуй самостійно намалювати такий трикутник з найбільшою кількістю «отворів». Скільки синіх трикутників утворюється на кожному етапі? Доведи, що всі сині трикутники подібні між собою.

Рівносторонні трикутники відрізняються розміром, тому вони подібні.

522. Іринка зробила власноруч дерев’яну рамку для фото родини у формі рівнобічної трапеції, основи якої дорівнюють 16 см і 12 см, а бічна сторона — 7 см. Потім вона вирішила, що хоче доклеїти ще планки, щоб утворився трикутник і рамку було легко повісити (мал. 9.19). На скільки треба подовжити бічні сторони?

Нехай ABCD — трапеція;

BC ∥ AD; BC = 12 см; AD = 16 см.

AB = CD = 7 см;

∆BCK ~ ∆AKD (BC ∥ AD).

ВК = КС = х;

BKAK = BCAD; xx+7 = 1216;

16x = 12x + 84; 4х = 84; х = 21.

Відповідь: 21 см.

523. Основи трапеції дорівнюють 48 см і 72 см, а бічні сторони —

24 см і 22 см. На скільки треба подовжити кожну з бічних сторін, щоб вони перетнулися?

ABCD — трапеція; BC ∥ AD, BC = 48 см;

AD = 72 см; AB = 22 см; CD = 24 см.

Необхідно знайти BF і FC.

∆FBC ~ ∆AFD, BC ∥ AD;

BFAF = BCAD; нехай BF = х;

xx+22 = 4872; xx+22 = 23;

Зх = 2х + 44; х = 44; BF = 44.

Нехай FC = у; тоді FCFD = BCAD;

yy+24 = 23; 3y = 2y + 48; y = 48; FC = 48.

Відповідь: 44 см; 48 см.

524. На сторонах AB і BC ∆ABC взято точки M і N відповідно так, що

MN ∥ AC, AM = BN, MB = 4 см, NC = 9 см, MN = 8 см. Знайдіть AC і BN

Нехай дано ∆ABC, MN ∥ AC, AM = BN, MB = 4см; NC = 9 см, MN = 7 см.

∆MBN ~ ∆ABC за теоремою 15, (MN ∥ AC за умовою).

Нехай AM = BN = x; складемо рівняння:

MBAB = BNBC; 4x+4 = xx+9;

4x + 36 = x² + 4x; x² = 36; х = 6.

Отже BN = 6 см.

Знайдемо AC: ACMM = ABMB; AC7 – 104, AC = 10•74 = 17,5.

Відповідь: MN = 7 см; AC = 17,5 см.

525. K і P — такі точки на сторонах AB і BC ∆ABC, що KP ∥ AC і BK : BA = 1 : 3. Чи подібні трикутники ABC і KBP? Чому? Знайди:

а) відношення KB : AK, BP : PC, KP : AC; б) периметри трикутників ABC і KBP, якщо AK = KP = PB = 8 см.

∆ABC ~ ∆KBP тому, що K P ∥ AC (теорема 15).

a) KB : AK = 1 : 2; BP : PC = 1 : 2; KP : AC = 1 : 2.

б) AK = KP = PB = 8 см; AK = 8 см; ВK = 4 см;

Р_∆BKP = 4 + 8 + 8 = 20 (см). Р_∆ABC = 3 • 20 = 60 (см).

Відповідь: 20 см; 60 см.