Вправи: 1237

1237. У рівнобедрений прямокутний трикутник вписано прямокутник так, що дві його вершини лежать на гіпотенузі, а дві — на катетах. Знайди довжину гіпотенузи, якщо периметр прямокутника 18 см, а одна зі сторін на 3 см більша за другу.

Дано: ∆АВС (∠В = 90°); KMNP – вписаний прямокутник;

P_KMNP = 18 см; KP > MK на 3 см.

Знайти: АС.

Розв’язання

∆АКМ (∠К = 90°):

∠А = 45, тоді ∠АМК = 90° – ∠А = 90° – 45° = 45°.

Отже, ∆АКМ – рівнобедрений; АК = МК.

Аналогічно доводиться, що РС = PN.

Нехай MK = NP = x cм, тоді КР = (х + 3) см.

PKMNP = 2(KM + KP);

2(x + x + 3) = 18;

2x + 3 = 9;

2x = 6;

x = 3. KM = 3 см.

КР = 3 + 3 = 6 (см).

AC = AK + KP + PC = MK + KP + NP = 3 + 6 + 3 = 12 (см).

Відповідь: 12 см.