Вправи: 1213

1213. Через точку перетину медіан ∆ABC паралельно AC проведено пряму, яка перетинає сторони AB і BC у точках M i N. Знайди площу ∆ABC, якщо площа ∆MBN дорівнює S.

∆ABC – довільний трикутник; O — точка перетину медіан. MN ∥ AC; O ∈ MN; N ∈ BC. S_∆MBN = S. МN ∥ AC, тому ∆BMN = ∠ВАС, ∠B — спільний для ∆BMN і ∆ABC. Звідси ∆MBN ~ ∆ABC (за двома кутами

BO : OK = 2 : 1 (властивість медіан).

MN ∥ AC, тому за теоремою Фалеса BM : MA = 2 : 1, a BM : BA = 2 : 3.

∆MBN ~ ∆ABC з коефіцієнтом подібності 23. SMBNSABC = (23)² = 49; SSABC = 49. Звідси: S_ABC = 9S4.