Вправи: 1208

1208. Точку перетину медіан трикутника (центр мас) сполучили

з його вершинами. Порівняй площу кожного з трьох утворених трикутників з площею даного трикутника.

∆АВС — довільний трикутник. O — центр мас.

Порівняємо S_∆ABC і S_∆AOC.

Проведемо BN ⊥ AC і OA ⊥ AC, BN ∥ OZ (два перпендикуляра до однієї прямої) ∆BNK ~ ∆OZK (за двома кутами: ∠N = ∠Z = 90°; ∠K — спільний). З подібності трикутників:

BN : OZ = BK : OK.

Оскільки BK : OK = 3 : 1 (властивість центра мас), то BN : OZ = 3. Тобто висота BN трикутника АВС втричі більша, ніж висота OZ трикутника AOC, а основа у цих трикутників спільна (AC). Тому площа ∆АВС втричі більша, ніж площа ∆AOC. Аналогічно можна довести, що площа ∆АВС втричі більша ніж площа ∆BOC та площа

∆BOA.