Вправи: 1062

1062. Діагоналі рівнобічної трапеції перпендикулярні, середня лінія дорівнює m. Знайди площу чотирикутника, вершинами якого є середини сторін трапеції.

ABCD — рівнобічна трапеція. BD ⊥ AC.

BC+ AD2 = m – середня лінія. М, N, Р, K — середини сторін AB, BC, CD, DA. MN — середня лінія ∆ABC, MN ∥ AC. KP — середня лінія ∆ACD, KP ∥ AC, тоді MN ∥ KP. NP — середня лінія ∆BCD, NP ∥ BD.

MK — середня лінія ∆BAD, MK ∥ BD, тоді MK ∥ NP. MN ∥ AC, NP ∥ BD, AC ∥ BD.

MN ⊥ NP, отже MNPK — прямокутник. Оскільки ABCD — рівнобічна, то BD = AC, тому MN = NP, отже, MNPK — квадрат. MP — середня лінія трапеції ABCD; MP = m. MP — діагональ квадрата MNPK.

x — сторона квадрата.

З ∆MNP за теоремою Піфагора:

x² + x² = m², 2х² = m², x² = m22.

S_MNPK = x² = m22.

Відповідь: S_MNPK = x² = m22.