Вправи: 1065

1065. Площа квадрата, побудованого на діагоналі прямокутника, удвічі більша за площу цього прямокутника. Доведи, що сторони прямокутника рівні.

ABCD — прямокутник, AC — діагональ, AC — сторона квадрата AKPC.

SAKPCSABCD = 2.

Треба довести, що AB = BC. Нехай AB = x см; BC = у см, тоді з

∆ABC: AC² = AB² + BC² = x² + у². Але AC — сторона квадрата, тому

S_AKPC = AC² = х² + у². S_ABCD = х • у. За умовою: х² + у² = 2ху;

x² – 2xy + y² = 0, (x – y)² = 0. Звідси x – y = 0, х = у, тобто AB = BC.