Вправи: 965

965. Знайдіть сторони трикутника, якщо радіус вписаного кола дорівнює r, а кути трикутника дорівнюють α, β, γ.

Центр кола, вписаного у трикутник, лежить у точці перетину бісектрис. АО, ВО, СО — бісектриси кутів A, В, С відповідно, які перетинаються в точці О. М, N, Р — точки дотику кола і сторін трикутника. Проведемо радіуси кола в точки дотику.

ОМ = ON = OP = R; ОМ ⊥ AC; ОМ ⊥ AB; OP ⊥ ВС.

У ∆АОM ∠M = 90°; ∠A = α2; AM = OMtgα2 = Rtgα2;

AM = AN — за властивістю дотична, проведена з однієї точки. У

∆СМО ∠M = 90°; ∠C = γ2; MC = OMtgγ2 = Rtgγ2;

МС = РС.

У ∆NBO ∠N = 90°;

∠B = β2; NB = ONtgβ2 = Rtgβ2; NB = BP.

AB = AN + NB = Rtgα2 + Rtgβ2 = R(1tgα2 + 1tgβ2);

ВС = ВР + РС = Rtgβ2 + Rtgγ2 = R(1tgβ2 + 1tgγ2);

АС = AM + MC = Rtgα2 + Rtgγ2 = R(1tgα2 + 1tgγ2).