Вправи: 774

774. За основами a і b трапеції (a > b) визначте: 1) відстань між точками, які ділять бічні сторони у відношенні 1 : m, починаючи від меншої основи; 2) довжину відрізка, що проходить паралельно основам через точку перетину діагоналей; 3) довжину відрізка, що проходить паралельно основам через точку перетину продовжених бічних сторін і має кінці на продовженнях діагоналей.

1) K і P — точки, які ділять бічні сторони у відношенні 1 : m.

Нехай ВК = 1х; КА = mх.

Проведемо BN ∥ CD. BCDN — паралелограм, ОР = ND = ВС = b.

∆BKO ~ ∆BAN; BA = mx + 1x.

KOAN = BKBA. Звідси КО = AN• BKBA = a- b•1x1x+ mx = a- b1+ m;

KP = KO + OP = a- b1+ m + b = a- b+ b+ bm1+ m = a+ bm1+ m.

2) O — точка перетину діагоналей, MN ∥ AD; О ∈ MN. ∆ВОС ~ ∆DOA (за двома кутами). Звідси BOOD = ba = COAO.

Нехай ВО = bx; OD = ах; BD = bx + ax; CO = bx; OA = ax. ∆BMO ~ ∆BAD.

MOAD = BOBD; MO = BO• ADBD = bx• abx+ ax = bab+ a.

∆CNO ~ ∆CDA. COCA = ONAD; ON = CO• ADCA = bx• abx+ ax = bab+ a. MN = 2bab+ a.

3) ABCD — трапеція. О — точка перетину продовження AB і DC.

а ∥ AD; О ∈ а. Р — точка перетину а з DB; К — точка перетину а з АС.

∆ОВА ~ ∆OAD. ODOC = ADBC; ODOC = ab. Нехай ОD = ах; OС = bх. Тоді CD = ax – bx = (а – b)x. ∆ОСK ~ ∆DСА. Звідси OKAD = OCCD. Тоді ОК = AD • OCCD = a • bxa-bx = aba-b. Аналогічно РО = aba-b. Тоді РК = 2aba-b.