Вправи: 770

770. Прямокутні трикутники з відповідно пропорційними катетом і гіпотенузою подібні. Доведіть.

ACA1C1 = ABA1B1. На продовженні сторони АС відкладемо СР = СА. З’єднаємо Р і В. На продовженні сторони A₁C₁ відкладемо С₁Р₁ = С₁A. Тоді ∆АСB = ∆РСВ і AB = ВР. Аналогічно ∆А₁С₁В₁ = ∆Р₁С₁В₁ і А₁В₁ = Р₁В₁.

Нехай ACA1C1 = ABA1B1 = k, тоді APA1P1 = 2AC2A1C1 = k; ABA1B1 = PBP1B1 = k.

Тоді ∆РАВ ~ ∆Р₁А₁В₁ (за трьома сторонами).

Звідси ∠A = ∠A₁, тоді ∆САВ ~ ∆C₁A₁В₁ (за двома сторонами ACA1C1 = ABA1B1 і кутом між ними ∠A = ∠A₁).