Вправи: 698

698. Периметр рівностороннього трикутника дорівнює Р. Через точку перетину його медіан проведено пряму, паралельну стороні. Доведіть, що довжину відрізка d цієї прямої з кінцями на сторонах трикутника можна обчислювати за формулою: d = 2P9.

∆АВС — рівносторонній; Р — периметр ∆АВС; О — точка перетину медіан ∆АВС; О ∈ KP; KP ∥ АС.

Медіани точкою перетину діляться у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини.

Тоді BOON = 21, а BNBO = 32;

∆KBO ~ ∆ABN; AN = 12АС = 12 • P3 = 16Р.

З подібності ∆КВО і ∆ABN: ANKO = BNBO; 16PKO = 32.

Звідси КО = 2• 16P3 = P9. КО = 12КР, тоді КО = 2КО = 2 • P9 = 2P9.