Вправи: 701

701. Через точку M на стороні трикутника ABC проведено пряму, що відтинає від нього подібний трикутник. Скільки розв’язків має задача? Розгляньте випадки, коли ∆АВС: 1) різносторонній; 2) рівнобедрений; 3) рівносторонній.

1) ∆АВС — різносторонній. М ∈ AB.

а) Проведемо МК таким чином, щоб ∠AMК = ∠С; К ∈ АС. Тоді ∆АМК ~ ∆АСВ (за двома кутами: ∠AMK = ∠ACB; ∠A — спільний).

б) Проведемо MN таким чином, що ∠BMN = ∠C; N ∈ ВС. Тоді ∆ВМК ~ ∆ВСА (за двома кутами: ∠B — спільний, ∠BMN = ∠BCA).

в) МР ∥ АС; ∆ВМР ~ ∆BAC (за двома кутами: ∠BMP = ∠BAC, ∠B — спільний).

г) MZ ∥ ВС; ∆AMZ ~ ∆АВС (за двома кутами: ∠A — спільний, ∠AZM = ∠ACB).

Отже, задача має 4 розв’язки.

2) ∆АВС — рівнобедрений, М ∈ AB.

а) Проведемо MN ∥ АС; ∆BMN ~ ∆BAC (за двома кутами: ∠B — спільний, ∠BMN = ∠BAC).

б) Проведемо MD ∥ ВС. ∆AMD ~ ∆АВС (за двома кутами: ∠A — спільний, ∠ADM = ∠ACB).

в) Проведемо МР таким чином, щоб ∠AMP = ∠C ( P ∈ АС). ∆АМР ~ ∆АСВ (за двома кутами: ∠A — спільний, ∠AMP = ∠ACB).

Отже, задача має З розв’язки.

3) ∆АВС — рівносторонній. М ∈ AB.

а) Проведемо MN ∥ AC. ∆BMN ~ ∆BAC (за двома кутами: ∠B — спільний, ∠BMN = ∠BAC).

б) Проведемо МК ∥ ВС. ∆АМК ~ ∆AВС (за двома кутами: ∠A — спільний, ∠AMK = ∠ABC).

Отже, задача має 2 розв’язки.