Вправи: 702

702. У рівнобедрений трикутник з основою a і бічною стороною b вписано коло. Знайдіть відстань між точками дотику кола до бічних сторін трикутника, якщо: 1) a = 6 см, b = 10 см; 2) a = 10 см, b = 13 см.

∆АВС — рівнобедрений, ВК ⊥ AC; К — середина АС; АК = 12АС = 12а.

∆АОK = ∆AOM (прямокутні); АО — спільна гіпотенуза; ОМ = OK — катети (як радіуси одного кола).

Звідси AM = a2,

тоді МВ = AB – AM = b – a2 = 2b- a2.

MZ — відстань між точками дотику кола до бічних сторін ∆АВС.

ВК перетинає MZ в т. Р. Р — середина MZ; MZ ∥ AC.

MP = a2 ∆MВР ~ ∆АВК.

AKMP = ABMB, або a2MP = b2b- a2.

Звідси MP • b = a2 • 2b- a2;

MP = a(2b- a)4b; d2 = a(2b- a)4b;

d = 2a(2b- a)4b; d = a(2b- a)2b.

1) a = 6 cм; b = 10 см.

d = 6•(2•10-6)2•10 = 6•142•10 = 4,2 (см).

2) a = 10 cм; b = 13 cм.

d = 10•(2•13-10)2•13 = 10•1626 = 6213 (см).