Вправи: 599

599. Відповідні сторони двох подібних трикутників попарно додано і з утворених трьох відрізків побудувано новий трикутник. Чи подібний цей трикутник даним трикутникам?

Нехай a₁; b₁; с₁ і а₂; b₂; c₂ — сторони двох подібних трикутників, тоді

a2a1 = b2b1 = c2c1 і a1a2 = b1b2 = c1c2.

a₁ + a₂; b₁ + b₂; c₁ + c₂ – сторони нового трикутника.

a1+ a2a1 = 1 + a2a1; b1+ b2b1 = 1 + b2b1; c1+ c2c1 = 1 + c2c1.

Оскільки a2a1 = b2b1 = c2c1, то 1 + a2a1 = 1 + b2b1 = 1 + c2c1.

Тобто a1+ a2a1 = b1+ b2b1 = c1+ c2c1.

Отже, сторони нового трикутника пропорційні сторонам першого трикутника, тому ці трикутники подібні.

Аналогічно a1+ a2a2 = b1+ b2b2 = c1+ c2c2; a1a2 + 1 = b1b2 + 1 = c1c2 + 1.

Тобто новий трикутник подібний другому з даних трикутників.