Вправи: 384

384. Доведіть, що середні лінії трикутника ділять його на чотири рівні трикутники.

Нехай дано: ∆АВС; АС = b; ВС = а; АВ = с; A₁, B₁, С₁ — середини сторін.

A₁C₁ = A₁A = b2; B₁C = B₁B = a2;

AC₁ = C₁B = c2; A₁B₁ = 12c;

B₁C₁ = 12b; A₁C₁ = 12a.

P_∆A1CB1 = a2 + b2 + c2; P_∆AA1C1 = a2 + b2 + c2;

P_∆C1B1B = a2 + b2 + c2; P_∆A1B1C1 = a2 + b2 + c2.

У цих трикутників рівні сторони, отже.

∆A₁CB₁ = ∆B₁C₁B = ∆A₁B₁C₁ = ∆AА₁С₁.