Вправи: 1260

1260. У трикутнику через точку перетину медіан проведено три відрізки, кожний з яких паралельний одній зі сторін трикутника. До­

ведіть, що три утворені трапеції, які складають трикутник, мають

рівні площі.

Дано: ∆АВС, М – точка перетину медіан;

TK ∥ AC; PS ∥ BC; LN ∥ AB.

Довести: S_ABNL = S_PBCS = S_ATKC.

Доведення

TK ∥ AC, тоді ∆ТВК ~ ∆АВС.

Відношення висот цих трикутників, проведених до паралельних сторін, дорівнює відношенню, в якому медіана ВЕ ділиться точкою М.

ВМ = 23ВЕ, тоді h_м.тр. = 23h_б.тр.

S_TBK = (23)² • S_ABC = 49S_ABC.

S_ATKC = S_ABC – S_TBK = S_ABC – 49S_ABC = 59S_ABC.

Аналогічно, для відрізків, паралельним сторонам AB і BC, утворюються трапеції, площі яких становлять 59S_ABC.

Отже, S_ABNL = S_PBCS = S_ATKC.