Вправи: 1193 (1-2)

1193. Знайдіть площу прямокутного трикутника за його гіпотенузою та відношенням катетів:

Дано: ∆АВС (∠С = 90°).

Знайти: S_ABC.

Розв’язання

1) АВ = 25 см; АС : ВС = 3 : 4.

Нехай АС = 3х см, тоді ВС = 4х см.

∆АВС (∠С = 90°): АВ² = АС² + ВС²;

25² = (3х)² + (4х)²;

9х² + 16х² = 625;

25х² = 625;

х² = 25;

х = 5; АС = 3 • 5 = 15 см; ВС = 4 • 5 = 20 (см).

S_ABC = 12 AC • BC = 12 • 15 • 20 = 150 (cм²).

2) АВ = 5 см; АС : ВС = 7 : 24.

Нехай АС = 7х см, тоді ВС = 24х см.

∆АВС (∠С = 90°): АВ² = АС² + ВС²;

5² = (7х)² + (24х)²;

49х² + 576х² = 25;

625х² = 25;

x² = 125; x = 15.

AC = 7 • 15 = 75 (см); ВС = 24 • 15 = 245 (см).

S_ABC = 12AC • BC = 12 • 75 • 245 = 16850 = 3,36 (см²).

3) АВ = 25,5 см; АС : ВС = 8 : 15

Нехай АС = 8х см, тоді ВС = 15х см.

∆АВС (∠С = 90°): АВ² = АС² + ВС²;

25,5² = (8х)² + (15х)²;

64х² + 225х² = 650,25;

289х² = 650,25;

х² = 2,25; х = 1,5.

АС = 8 • 1,5 = 12 (см); ВС = 15 • 1,5 = 22,5 (см).

S_ABC = 12AC • BC = 12 • 12 • 22,5 = 135 (см²).

4) АВ = 82 см; АС : ВС = 9 : 40.

Нехай АС = 9х см, тоді ВС = 40х см.

∆АВС (∠С = 90°): АВ² = АС² + ВС²;

82² = (9х)² + (40х)²;

81х² + 1600х² = 6724;

1681х² = 6724;

х² = 4; х = 2.

АС = 9 • 2 = 18 (см); ВС = 40 • 2 = 80 (см).

S_ABC = 12AC • BC = 12 • 18 • 80 = 720 (см²).

Відповідь: 1) 150 см²; 2) 3,36 см²; 3) 135 см²; 4) 720 см².