Вправи: 826

826. Побудуйте паралелограм за його вершиною та серединами

сторін, яким ця вершина не належить.

Нехай М і N — середини сторін відповідно ВС і CD паралелограма ABCD, т. О — точка перетину діагоналей АС і BD, т. К — точка перетину АС і MN. Оскільки MN — середня лінія ∆CBD, то К — середина ОС, тому ОК = 12ОС = 12АО.

Отже, О — точка перетину медіан трикутника AMN.

Побудова. Проведемо медіану АК ∆MAN. Побудуємо т. О, яка ділить

відрізок АК у відношенні АО : ОК = 2 : 1.

На її продовженні за т. К відкладемо відрізок КС = ОК.

Проведемо прямі СМ і CN. Через т. А проведемо пряму, яка паралельна CN. Ця пряма перетинається з прямою СМ у т. В — вершині шуканого паралелограма. Аналогічно будуємо вершину D.

Чотирикутник ABCD — паралелограм, так як його протилежні сторони попарно паралельні за побудовою. Залишилось довести, що N — середина CD, а М — середина ВС. Чотирикутник OMCN — паралелограм, так як його діагоналі ОС і MN точкою перетину К діляться навпіл. Отже, ON ∥ ВС ∥ AD, а так як О — середина АС, то N — середина CD. Аналогічно для т. М.