Вправи: 825

825. Відстань від середини хорди AC кола до діаметра AB дорівнює

4 см. Знайдіть хорду BC, якщо ∠BAC = 30°.

За умовою АВ — діаметр. За наслідком з теореми про вписані кути маємо: ∠АСВ = 90°. Виконаємо додаткову побудову: висоту СК (СК ⊥ АВ). За умовою N — середина АС і NР ⊥ АВ, СК ⊥ АВ. Отже, NР ∥ СК. За теоремою про середню лінію трикутника маємо: NP — середня лінія ∆АСК. СК = 2NP, СК = 2 • 4 = 8 (см). Розглянемо ∆АСВ — прямокутний (∠С = 90°) ∠A = 30°. 3а властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: ∠А + ∠В = 90°, ∠В = 90° – ∠А, ∠В = 90° – 30° = 60°. Розглянемо ∆СКВ — прямокутний (∠СКВ = 90°). Аналогічно маємо: ∠В + ∠КСВ = 90°, ∠КСВ = 90° – ∠В, ∠KСВ = 90° – 60° = 30°. За властивістю катета, що лежить навпроти кута 30°, маємо: СВ = 2КВ. Нехай КВ = х см, тоді СВ = 2х (см). За теоремою Піфагора маємо: СВ² = СК² + КВ²;

(2х)² = х² + 8²; 4х² – х² = 64; Зх² = 64;

x² = 643; x = 643 = 83 = 833. Отже, СВ = 2 • 838 = 1633 (см).

Відповідь: СВ = 1633 см.