Вправи
Вправи: 770
Готова відповідь до завдання 770 з ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк.
Геометрія, 8 клас · Вправи
Текстова відповідь
770. Доведіть, що сума відстаней від довільної точки рівностороннього трикутника до його сторін є сталою для даного
трикутника.
Нехай дано рівносторонній ∆АВС, т. М всередині ∆АВС, МК ⊥ ВС, МF ⊥ АС, МЕ ⊥ АВ.
Доведемо, що МК + МF + МЕ є величиною сталою для цього трикутника.
Розглянемо ∆BMC, S∆BMC = 12MK • BC.
∆AMC, S∆AMC = 12ME • AC. ∆AMB, S∆AMC = 12ME • AB.
S∆ABC = S∆BMC + S∆AMC + S∆AMB;
S∆ABC = 12MK • BC + 12MF • AC + 12ME • AB, оскільки ∆АВС – рівносторонній, то АВ = ВС = СА = a, S∆ABC = 12а(МК + MF + ME). Отже, сума MK + ME + ME не залежить від вибору т. М і є сталою величиною.
S∆ABC = a234 МК + MF + ME = a234 : 12a = a234 • 2a = a32.