Вправи: 773

773. Центр кола, вписаного в рівнобічну трапецію, віддалений від

кінців її бічної сторони на 12 см і 16 см. Знайдіть периметр трапеції.

Нехай дано трапецію АВСD, ВС ∥ АD, АВ ∦ СD, АВ = СD, коло (О; r) — вписане у трапецію, ОА = 16 см, ОВ = 12 см. Знайдемо Р_АВСD.

Оскільки коло вписане у трапецію, то центр кола — точка перетину бісектрис ∠A і ∠В. ∠А + ∠В = 180° (як кути, прилеглі до бічної сторони трапеції).

∠ABO = 12∠B, ∠BAO = 12∠A, ∠ABO + ∠BAO = 12∠B + 12∠A = 12(∠B + ∠A) = 12 • 180° = 90°. З ∆АОВ: ∠АОВ = 180° – 90° = 90°, тоді за теоремою Піфагора АВ² = АО² + ВО²; АВ² = 16² + 12²; АВ² = 256 + 144; АВ² = 400; АВ = 20 см. АВ = СD = 20 см. Так як в трапецію можна вписати коло, то АВ + СD = ВС + DА, 20 + 20 = ВС + DА, ВС + DА = 40 см. Р_АВСD = АВ + ВС + СD + DА; Р_АВСD = 40 + 40 = 80 см.

Відповідь: Р_АВСD = 80 см.