Вправи
Вправи: 768
Готова відповідь до завдання 768 з ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк.
Геометрія, 8 клас · Вправи
Текстова відповідь
768. У трикутнику ABC позначено точку M так, що площі трикутників AMВ, BMC і AMC рівні. Доведіть, що M — точка перетину медіан трикутника ABC.
Продовжимо відрізок АМ за точку M, АМ ∩ ВС = т. F. Із задачі № 757 випливає, що BFFC = mn, тоді S∆ABMS∆AMC = mn, оскільки за умовою ці площі рівні, то mn = 11, тоді BFFC = 11, це означає, що ВF = FС, тобто АF — медіана. Продовжимо відрізок СМ за точку М, СМ ∩ АВ = т. К, тоді AKKB = mn і S∆AMCS∆BMC = mn, але за умовою S∆AMC = S∆BMC, S∆AMCS∆BMC = mn, тоді mn = 11, отже, AK = KB, CK – медіана.
CK ∩ AF = т. М, тоді т. М — точка перетину медіан ∆АВС.