Вправи
Вправи: 766
Готова відповідь до завдання 766 з ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк.
Геометрія, 8 клас · Вправи
Текстова відповідь
766. У рівнобедрений трикутник вписано коло. Точка дотику ділить
бічну сторону трикутника у відношенні 9 : 8, рахуючи від вершини рівнобедреного трикутника. Знайдіть площу трикутника, якщо радіус вписаного кола дорівнює 16 см.
Нехай дано ∆АВС— рівнобедрений, АВ = ВС, коло (О; к) — вписане у трикутник, М, Т, Л — точки дотику, к = 16 см, ВТ : NС = 9 : 8. Знайдемо S∆ABC.
Нехай х (см) — одна частина, тоді ВN = 9x (см), NC = 8x (см).
ВС = ВN + NC, ВС = 9x + 8x = 17x (см).
BN = BM = 9x (см) та CN = CK = 8x (см) – властивість дотичних, проведених з точки до кола.
Центр кола т. О лежить на висоті ВК, оскільки висота ВК проведена
до основи, то ВК — медіана, АК = КС = 8х (см).
Центр вписаного кола — точка перетину бісектрис кутів ∆АВС, СО —
бісектриса ∠С. За властивістю бісектриси ∆ВКС:
BCCK = BOOK, 17x8x = BOOK, OK = r = 16 см.
178 = BO16, BO = 17 •168, BO = 34 см. ВК = 34 + 16 = 50 см.
З ∆ВКС, ∠К = 90° за теоремою Піфагора ВС2 = ВК2 + КС2;
(17х)2 = 502 + (8х)2; 289х2 = 2500 + 64х2; 289х2 – 64х2 = 2500; 225х2 = 2500; х2 = 2500225; х = 5015; x = 103.
AC = AK + KC; AC = 8x + 8x = 16x; AC = 16 • 103 = 1603 см.
S∆ABC = 12BK • AC, S∆ABC = 12 • 50 • 1603 = 25 • 1603 = 40003 = 133313 см2.
Відповідь: S∆ABC = 133313 см2.