Вправи: 714

714. Знайдіть площу ромба, якщо його висота дорівнює б см, а більша діагональ — 10 см.

Виконаємо додаткову побудову: висоту СР (СР ⊥ АF). Розглянемо ∆АРС — прямокутний (∠P = 90°). За теоремою Піфагора маємо:

АС² = АР² + СР², СР = ВN — висоти, АР² = 10² – 6² = 100 – 36 = 64, АР = 8 см.

Розглянемо ∆АNВ і ∆DРС — прямокутні (∠АNВ = ∠СРD = 90°), АВ = СD — сторони ромба, ВN = СР. За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆АNВ = ∆DРС. За властивістю рівних фігур маємо: NА = DР. Нехай АN = DР = х см, АВ = а см. За аксіомою вимірювання відрізків маємо: АР = АD + DР, а + х = 8 (см). Розглянемо ∆АNВ — прямокутний (∠N = 90°). За теоремою Піфагора маємо: АВ² = АN² + NВ², а² = х² + 6²; а² – х² = 36. Складемо і розв’яжемо систему рівнянь:

а + х = 8, а + х = 8, а + х = 8,

а² – х² = 36; (а – х)(a + x) = 36; 8(a – x) = 36;

a + x = 8, + a + x = 8,

(a – x) = 368; (a – x) = 4,5; a = 12,5 : 2 = 6,25.

2a = 12,5;

Отже, АВ = 6,25 см. S_ABCD = АD • ВN; АD = АВ = 6,25; ВN = 6 см.

S_ABCD = 6,25 • 6 = 37,5 (см²).

Відповідь: S_ABCD = 37,5 см².