Вправи: 712

712. Кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини

тупого кута, дорівнює 60°. Знайдіть площу паралелограма, якщо його висоти дорівнюють 8 см і 12 см.

Розглянемо чотирикутник NВКD, ∠N = ∠К = 90°, ∠В = 60°. За теоремою про суму кутів чотирикутника маємо: ∠N + ∠В + ∠К + ∠D = 360°, ∠D = 360° – (90° + 90° + 60°) = 360° – 240° = 120°.

За властивістю кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони, маємо: ∠А + ∠D = 180°, ∠А = 180° – 120° = 60°. За властивістю протилежних кутів паралелограма маємо: ∠А = ∠С = 60°. Розглянемо ∆АNВ — прямокутний (∠N = 90°).

За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо:

∠А + ∠В = 90°, ∠В = 90° – 60° = 30°. За властивістю катета, що лежить навпроти кута 30°, маємо: АN = 2АN. Нехай АN = х см, тоді АВ = 2х (см). За теоремою Піфагора маємо: АВ² = АN² + NВ². Складемо і розв’яжемо рівняння: (2х)² = х² + 8²; 4х² – х² = 64;

Зх² = 64; x² = 643; x = 643 = 83 = 833.

Отже, AB = 2•833 = 1633 (см). S = a • h_a; a = CD = 1633 см;

h_a = BK = 12 см; S_ABCD = 163•123 = 643 (см²).

Відповідь: S_ABCD = 643 см².