Вправи: 710

710. Діагональ паралелограма, яка дорівнює 18 см, перпендикулярна до однієї зі сторін і утворює кут 30° із другою стороною. Знайдіть площу паралелограма.

Розглянемо ∆АВD — прямокутний (∠В = 90°, тому що АВ ⊥ ВD). За властивістю катета, що лежить навпроти кута 30° маємо: АD = 2АВ.

Нехай АВ = x см, тоді АD = 2х см. За теоремою Піфагора маємо: АD² = АВ² + ВD².

Складемо і розв’яжемо рівняння: (2х)² = х² + 18²; 4х² – х² = 18²;

Зх² = 324; х² = 324 : 3; х² = 108; x = 108 = 36•3 = 63.

Отже, АВ = 63 см, АD = 2 • 63 = 123 (см).

∆ВND — прямокутний (∠N = 90°). За властивістю катета, що лежить навпроти кута 30°, маємо: ВN = 12ВD; ВN = 18 : 2 = 9 (см).

S_ABCD = ВN • АD; S_ABCD = 9 • 123 = 1083 (см²).

Відповідь: S_ABCD = 1083 см².