Вправи: 713

713. Сторони паралелограма дорівнюють 14 см і 20 см, а кут між

його висотами, проведеними з вершини тупого кута, — 45°.

Знайдіть площу паралелограма.

Розглянемо чотирикутник NВKD. За теоремою про суму кутів чотирикутника маємо: ∠N + ∠В + ∠К + ∠D – 360°, ∠D = 360° – (90° + 90° + 45°) = 360° – 225° = 135°. За властивістю кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони, маємо: ∠А + ∠D = 180°, ∠А = 180° – 135° = 45°. Розглянемо ∆АNВ — прямокутний (N = 90°). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутник маємо: ∠А + ∠В = 90°, ∠В = 90° – 45° = 45°.

Отже, ∆АNВ — прямокутний, рівнобедрений, ∠N = 90°, АN = NВ.

Нехай АN = NВ = х см. За теоремою Піфагора маємо: АВ² = АN² + NВ; х² + х² = 14²; 2х² = 196; х² = 196 : 2 = 98; х = 98 = 49•2 = 72. Отже, АN = NВ = 72 см. S_ABCD = ВN • АD; NВ = 72 см;

АD = ВС = 20 см; S_ABCD =72 • 20 = 1402 (см²).

Відповідь: S_ABCD = 1402 см².