Вправи: 709

709. Знайдіть площу паралелограма, діагоналі якого дорівнюють 26 см і 24 см, а одна з них перпендикулярна до сторони паралелограма.

Виконаємо додаткові побудови: висоти ВN (ВN ⊥ АD) і СK (CK ⊥ АD). Розглянемо ∆АNВ і ∆DKС (∠ВNА = ∠СKD = 90°), АВ = СD (протилежні сторони паралелограма), АВ ∥ СD, АК — січна.

За ознакою паралельних прямих маємо: ∠ВАN = ∠СDК (відповідні).

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆АNВ = ∆DКС.

За властивістю рівних фігур маємо: АN = DК. Нехай АN = см, DК = x см. Розглянемо ∆ВND — прямокутний (∠N = 90°). За теоремою Піфагора маємо: ВD² = ВN² + ND², ВN² = ВD² – ND². За аксіомою вимірювання відрізків маємо: ND = АD – АN, ND = АD – х.

ВN² = 24² – (АD – х)². Розглянемо ∆АКС — прямокутний (∠К = 90°). За теоремою Піфагора маємо: АС² = АК² + СК². ВN = СК — висоти паралелограма, проведені до сторони АD. За аксіомою вимірювання відрізків маємо: АК = АD + DК; АК = АD + х. СК² = АС² – АК²,

СК² = 26² – (АD + х)². Складемо і розв’яжемо рівняння:

24² – (АD – х)² = 26² – (АD + х)²;

576 – АD² + 2АD • х – х² = 676 – АD² – 2АD • х – х²;

676 – AD² – 2АD • х – x² – 576 + AD² – 2АD • x + x² = 0;

100 – 4АD • x = 0; 4АD • x = 100; АD • х = 100 : 4; АD • х = 25. Розглянемо ∆АВD — прямокутний (∠В = 90°, тому що ВD ⊥ АВ). За метричними співвідношеннями у прямокутному трикутнику маємо:

АВ² = АN • ND, АВ² = х • АD, АВ² = 25; АВ = 5 см. За теоремою Піфагора маємо: АD² = АВ² + ВD²,

АD² = 5² + 24² = 25 + 576 = 601; АD = 601 см.

АВ² = АN • АD; 25 = АN • 601; АN = 25601 = 25601601 (см).

За аксіомою вимірювання відрізків маємо: ND = АD – АN.

ND = 601 – 25601 = 601-25601 = 576601 = 576601601 (см);

BN² = AN • ND; BN² = 25601601 • 576601601 = 25•576•6016012 = 25•576601;

BN = 5•24601 = 120601 = 120601601 (см).

S_ABCD = BN • AD; _ABCD = 601•120601601 = 120•601601 = 120 (см²).

Відповідь: S_ABCD = 120 см².