Вправи: 604

604. У трикутнику ABC відомо, що AB = BC, BD і CK — висоти трикутника, cos А = 37. Знайдіть відношення CK : BD.

За умовою BDAM = 31. Нехай BD = Зх, AM = х. Розглянемо ∆CBD –прямокутний (∠D = 90°). За означенням косинуса гострого кута прямокутного трикутника маємо: cos ∠C = CDCB. Розглянемо ∆АМС — прямокутний (∠М = 90°). Аналогічно маємо: сов∠С = CMAC. За умовою ∆АВС — рівнобедрений (АВ = ВС). За умовою ВD — висота. За властивістю висоти рівнобедреного трикутника маємо: ВD — медіана, отже, АС = 2DС. Розглянемо ∆АМС і ∆ВDС — прямокутні (∠ВDС = ∠АМС = 90°), ∠С — спільний кут.

За І ознакою подібності трикутників маємо: ∆АМС ~ ∆ВDС.

За означенням подібних фігур маємо:

BDAM = DCMC; DCNC = 31; BDAM = BCAC; BCAC = 31;

DC = 3MC; BC = 3AC; AC = BC3; AC = 2DC; отже, AC = BC3 = 2DC;

BC = 6DC; DC = BC6; BC6 = 3MC; BC = 18MC; DC = 18MC6 = 3MC.

sin∠C = 3MC18MC = 318 = 16.

Відповідь: 16.