Вправи: 603

603. У трикутнику ABC відомо, що AB = BC, BD і AM — висоти трикутника, BD : AM = 3 : 1. Знайдіть cos С.

За умовою ВD — висота, ВD ⊥ АС. Отже, ∆АDВ — прямокутний (∠D = 90°). За означенням косинуса гострого кута прямокутного трикутника маємо: cos∠A = ADAB = 37. Отже, AD = Зх, АВ = 7х. За

умовою ∆ABC — рівнобедрений (АВ = ВС).

ВD — висота. За властивістю висоти рівнобедреного трикутника маємо: АС = 2AD = 6x. Розглянемо ∆АKС — прямокутний (∠K = 90°). За означенням косинуса гострого кута в прямокутному трикутнику маємо: cos∠A = AKAC = AK6x = 37; AK = 6x •37 = 18x7. Розглянемо ∆ADB — прямокутний (∠D = 90°).

За теоремою Піфагора маємо: АВ² = AD² + ВD²; BD² = АВ² – AD²; BD² = (7х)² – (Зх)² = 47х² – 9х² = 40х²;

BD = 40x2 = 4 •10x2 = 2х10. Аналогічно у ∆АKС (∠K = 90°): АС² = АK² + KС²; KС² = АС² – АK²;

KC² = (6x)² – (18x7)² = 36x^2\49 – 324x249 = 1764x2- 324x249 = 1440x249;

KC = 1440x249 = 144 •10x249 = 12x7 10.

CKBD = 12x107 : 2x10 = 12x107 : 2x101 = 12x10 •1 7 •2x10 = 67.

Відповідь: 67.