Вправи: 602

602. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 30 см і 40 см.

Знайдіть синус, косинус, тангенс і котангенс кута між медіаною та висотою, проведеними до гіпотенузи.

За умовою ∆ABC — прямокутний (∠B = 90°). BN — висота, проведена з вершини прямого кута. За метричними співвідношеннями у

прямокутному трикутнику маємо: ВС² = CN • АС; АВ² = AN • NC; BN² = AN • NC. Розглянемо ∆ABC — прямокутний (∠B = 90°).

За теоремою Піфагора маємо: АС² = АВ² + ВС²; АС² = 30² + 40² = 900 + 1600 = 2500; АС = 50 см.

Отже, маємо: 40² = CN • 50; CN = 160050 = 32 (см); 30² = AN • 50;

AN = 90050 = 18 (cм); BN² = 32 • 18;

ВN = 32 •18 = 16 •2 •9 •2 = 4 • 3 • 2 = 24 (см). ВО — медіана, отже, АО = ОС = АС : 2; АО = 50 : 2 = 25 (см). За аксіомою вимірювання відрізків маємо: NO = АО – АN; NO = 25 – 18 = 7 (см). Розглянемо ∆ВNO — прямокутний (∠N = 90°). За теоремою Піфагора маємо: ВО² = ВN² + ОN²; ВО² = 24² + 7² = 576 + 49 = 625; ВО = 25 см.

За означенням тригонометричних функцій гострого кута прямокутного трикутника маємо:

sinα = NOBO; cosα = BNBO; tgα = ONBN; ctgα = BNON;

sinα = 725; cosα = 2425; tgα = 724; ctgα = 247.

Відповідь: sinα = 725; cosα = 2425; tgα = 724; ctgα = 247.