Вправи: 574

574. У трикутнику ABC медіани BM і CK перпендикулярні та перетинаються в точці О. Знайдіть відрізок AO, якщо BM = 36 см і CK = 15 см.

Оскільки медіани ВМ і СК перетинаються в т. О, то за властивістю медіан СООК = 21; ВООМ = 21.

СО = 2х (см), ОK = x (см).

СК = СО + ОK; СK = 2x + x; 15 = 3x; x = 5.

ОК = 5 см, СО = 2 • 5 = 10 см. ВО = 2у (см), ОМ = у (см).

ВМ = ВО + ОМ; 36 = 2у + у; 36 = 3у; у = 12.

ОМ = 12 см, ВО = 2 • 12 = 24 см. Проведемо третю медіану АN, яка проходить через т. О.

Розглянемо ∆ВОС, ∠О = 90°, за теоремою Піфагора ВС² = BO² + OC²; ВС² = 24 + 10²; ВС² = 576 + 100; ВС² = 676; ВС = 26 см.

ОN — медіана прямокутного ∆ВОС, проведена до гіпотенузи.

ОN = 12ВС; ОN = 26 : 2 = 13 см.

За властивістю медіани ∆АВС AOON = 21 • ОN = z (см), АО = 2z (см).

АО = 2 • 13 = 26 (см).

Відповідь: АО = 26 см.