Вправи: 571

571. Точка дотику кола, вписаного в прямокутну трапецію, ділить її більшу основу на відрізки завдовжки 20 см і 25 см, рахуючи від вершини прямого кута. Обчисліть периметр трапеції.

Нехай дано трапецію АВСD, ВС ∥ АD, АВ ∦ СD, ∠А = 90°, коло (О; r) — коло, вписане у трапецію, АК = 20 см, KD = 25 см.

Знайдемо Р_ABCD. Р_ABCD = АВ + ВС + СD + DА. Нехай М, F, К, N — точки дотику кола до сторін трапеції АВСD.

ОМ = ОF = ОК = ОN — радіуси вписаного кола.

ОМ ⊥ ВС, ОК ⊥ АD, ОN ⊥ АВ, OF ⊥ СD як радіуси,

проведені в точку дотику. АNОК — прямокутник, так як ОN = ОК, то АNОК — квадрат.

ВМОN — прямокутник, так як ОN = ОМ, то ВМОN — квадрат.

АК = АN = 20 см

ВN = ВМ = 20 см як відрізки дотичних, проведених з точки до кола.

DК = DF = 25 см

СМ = СF = x см

АВ = 20 + 20 = 40 см, СD = 25 + x (см), ВС = 20 + x (см),

АD = 20 + 25 = 45 см. Проведемо висоту СL, СL = АВ = 40 см.

АВСL — прямокутник, тоді АВ = СL, ВС = АL = 20 + х, LD = АD – АL.

LD = 45 – (20 + х) = 45 – 20 – х = 25 – х (см).

З ∆СLD, ∠L = 90°, за теоремою Піфагора СD² = СL² + LD²;

(25 + х)² = 40² + (25 – х)²;

625 + 50x + х² = 1600 + 625 – 50x + х²; 100x = 1600; x = 16.

ВС = 20 + 16 = 36 (см), СD = 25 + 16 = 41 (см).

P_ABCD = 40 + 36 + 41 + 45 = 162 см.

Відповідь: P_ABCD = 162 см.