Вправи: 568

568. У колі по різні боки від його центра проведено дві паралельні

хорди завдовжки 16 см і 32 см. Відстань між хордами дорівнює 16 см. Знайдіть радіус кола.

Нехай дано коло (О; R), DС і АВ — хорди, DС ∥ АВ, DC = 32 см, АВ = 16 см, АК — відстань між хордами, АК = 16 см. Знайдемо R.

Розглянемо чотирикутник АВСD — трапеція, так як DС ∥ АВ, DС ≠ АВ. Оскільки т. А, В, С, D лежать на колі, то трапеція АВСD є вписаною в коло, тоді АВСD — рівнобока трапеція, АD = СВ. Проведемо радіуси OD, ОС, ОА, ОВ. ∆DOС і ∆АОВ — рівнобедрені (ОD = ОС = R, АО = ОВ = R). ОМ — висота ∆DOС, проведена до основи DС, так як ∆DOС — рівнобедрений, то ОМ — медіана. DМ = МС = 12DС = 32 : 2 = 16 см. ОN — висота ∆АОВ, проведена до основи АВ. так як ∆АОВ рівнобедрений, то ОN — медіана.

АN = NВ = 12АВ = 16 : 2 = 8 см.

ОМ + ОN = МN; МN = АК = 16 см. Нехай ОМ = х (см), ОN = 16 – x (см). З ∆DОМ, ∠М = 90°, за теоремою Піфагора DО² = DМ² + МО²; DО² = 16² + х²; DО² = 256 + х². З ∆АОN, ∠N = 90°, за теоремою Піфагора АО² = АN² + NО²; АО² = 8² + (16 – х)²;

АО² = 64 + 256 – 32x + х²; АО² = 320 – 32x + х². Оскільки АО = DО = R, то 256 + х² = 320 – 32х + х²; 64 – 32x = 0; –32x = –64; x = 2. DО² = 256 + 2²; DО² = 256 + 4; DО² = 260; DО = 260 = 265 см.

Відповідь: R = 265 см.