Вправи: 566

566. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 12 см і 20 см, а діагональ є бісектрисою тупого кута трапеції. Знайдіть цю діагональ.

Нехай дано трапецію АВСD, ВС ∥ АD, АВ ∦ СD, АВ = Сd, ВС = 12 см, АD = 20 см, АС — діагональ, АС — бісектриса ∠С. Знайдемо АС.

∠ВСА = ∠АСD (СА — бісектриса ∠С). ∠ВСА = ∠САD (як внутрішні різносторонні при ВС ∥ АD і січній АС).

∠АСD = ∠CAD, тоді ∆АСD — рівнобедрений з основою АС.

АD = СD = 20 см. Проведемо висоту СК, тоді за властивістю рівнобокої трапеції АK = BC+AD2; АК = 12+202 = 16 см.

КВ = АВ – АК, КВ = 20 – 16 = 4 см. З ∆СKD, ∠K = 90°, за теоремою

Піфагора СD² = СK² + КD²; СК² = 20² – 4²; СK² = 400 – 16;

СK² = 384. Розглянемо ∆АСК, ∠К = 90°, за теоремою Піфагора АС² = СК² + АК²; АС² = 384 + 16²; АС² = 384 + 256; АС² = 640;

АС = 640 = 810 см.

Відповідь: АС = 810 см.