Вправи: 563

563. Радiус кола, описаного навколо прямокутного трикутника АВС (∠С = 90°), дорiвнюе 15 см, АС = 24 см. Вiдрiзки ВМ i СК – медiани трикутника АВС, вiдрiзок AD – йога бiсектриса. 3найдiть: 1) гiпотенузу АВ; 2) катет ВС; 3) медiану СК; 4) медiану ВМ; 5) периметр трикутника АВС; 6) бiсектрису AD.

1) Радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, дорівнює половині гіпотенузи. Тоді АВ = 2 • 15 = 30 см.

2) За теоремою Піфагора АВ² = АС² + ВС²; ВС² = АВ² – АС²; ВС = 900- 576 = 324 = 18 см.

3) Радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, дорівнює медіані, проведеної до гіпотенузи. Тоді СК = 15 см.

4) Розглянемо ∆СМВ, ∠С = 90°, за теоремою Піфагора ВМ² = СВ² + СМ². За умовою ВМ – мідіана, тоді СМ = МА = АС : 2 = 24 : 2 = 12 см. ВМ² = ВС² + СМ²; ВМ² = 324 + 144 = 468; ВМ = 468 = 613 см.

5) Р_∆АВС = 24 + 30 + 18 = 72 см.

6) З теореми про властивість бісектриси трикутника: СDAC = DBAB; СDDB = ACAB = 2430 = 45. Нехай х (см) — одна частина, тоді CD = 4х (см), DВ = 5х (см). 4х + 5х = 18; 9х = 18; х = 2.

CD = 4 • 2 = 8 см; DВ = 5 • 2 = 10 см.

Розглянемо ∆CAD, ∠С = 90°, за теоремою Піфагора AD² = AC² + СD²;

AD = 576+64 = 576+64 = 640 = 810 см.