Вправи: 573

573. Медіани AM і CK трикутника ABC перпендикулярні. Знайдіть

сторони трикутника, якщо AM = 9 см і CK = 12 см.

Нехай медіани АМ і СK перетинаються в т. О, за властивістю медіан трикутника AOOM = 21; COOK = 21. АО = 2х (см), ОМ = x (см).

АМ = АО + ОМ; 9 = 2x + х; 9 = Зх; х = 3.

ОМ = 3 см, АО = 2 • 3 = 6 см.

СО = 2у (см), ОК = у (см).

СК = СО + ОK; 12 = 2у + у; 12 = Зу;

у = 4. ОK = 4 см, СО = 2 • 4 = 8 см.

3 ∆АОС, ∠О = 90°, за теоремою Піфагора АС² = АО² + ОС²;

АС² = 6² + 8²; АС² = 36 + 64; АС² = 100; АС = 10 см.

З ∆СОМ, ∠О = 90°, за теоремою Піфагора СМ² = СО² + ОМ²;

СМ² = 8² + З²; СМ² = 64 + 9; СМ² = 73; СМ = 73 см.

СВ = 2СМ (АМ — медіана), СВ = 273 см. 3 ∆АОК, ∠О = 90°, за теоремою Піфагора АК² = АО² + ОК²; АК² = 6² + 4²; АК² = 36 + 16; АК² = 52; АК = 52 = 213 см.

АВ = 2АК (СK — медіана), АВ = 413 см.

Відповідь: АВ = 413 см, СВ = 273 см, АС = 10 см.