Вправи: 572

572. Точка дотику кола, вписаного в прямокутну трапецію, ділить її меншу основу на відрізки завдовжки 6 см і 3 см, рахуючи від вершини прямого кута. Обчисліть периметр трапеції.

Нехай дано трапецію АВСD, ВС ∥ АD, АВ ∦ СD, ∠А = 90°, коло (О; r) – коло, вписане у трапецію, ВМ = 6 см, МС = 3 см.

Знайдемо Р_АВСD. Р_ABCD = АВ + ВС + СD + АD.

Нехай М, F, K, N — точки дотику кола до сторін трапеції АВСD.

ОМ = ОF = ОК = ОN — радіуси вписаного кола.

ОМ ⊥ ВС. ОК ⊥ АD, ОN ⊥ АВ, ОF ⊥ СD як радіуси, проведені в точку дотику.

АNОК — прямокутник, так як ОN = ОК, то АNОК — квадрат.

ВМОN — прямокутник, так як ОN = ОМ, то BMON — квадрат.

ВМ = ВN = 6 см

АN = АК = 6 см як відрізки дотичних, проведених з точки до кола.

DK = DF = x см

СМ = СF = 3 см

АВ = 6 + 6 = 12 см, ВС = 6 + 3 = 9 см, АВ = 6 + x (см), СD = 3 + x (см).

Проведемо висоту СL, СL = АВ = 12 см.

АВСL — прямокутник, тоді АВ = СL, ВС = АL = 9 см.

LD = АD – АL. LD = 6 + x – 9 = x – 3 (см).

З ∆СLD (∠K = 90°) за теоремою Піфагора СD² = СL² + LD²;

(З + х)² = 12² + (x – З)²; 9 + 6x + x² = 144 + х² – 6x + 9;

12x = 144; x = 12.

СD = 3 + 12 = 15 (см), АD = 6 + 12 = 18 (см).

Р_ABCD = 12 + 9 + 15 + 18 = 54 (см).

Відповідь: Р_ABCD = 54 см.