Вправи: 523

523. У прямокутну трапецію вписано коло. Точка дотику ділить

більшу бічну сторону на відрізки завдовжки 8 см і 50 см. Знайдіть периметр трапеції.

За умовою О — центр кола, вписаного у трапецію. Отже, О – точка перетину бісектрис кутів трапеції. За умовою АВСD — прямокутна трапеція. Отже, ∠ВСD + ∠СDА = 180°. Отже, ОС — бісектриса ∠ВСD, ОD — бісектриса ∠СDА. За означенням бісектрис кута маємо:

∠BCO = ∠OCD = 12∠BCD i ∠CDO = ∠ODA = 12∠CDA. Отже, маємо: ∠ОСD + ∠ОDС = 180° : 2 = 90°, звідси маємо ∆ОСD — прямокутний. ОN — висота, ОN — радіус, ОN ⊥ СD.

За метричними співвідношеннями у прямокутному трикутнику маємо:

ОN² = СN • ND; ON² = 8 • 50; ON² = 400; ОN = 20 (см).

АВ — дорівнює діаметру вписаного у трапецію кола, тому АВ = 2ОN = 40 (см). За аксіомою вимірювання відрізків маємо:

СD = СN + ND; СD = 8 + 50 = 58 (см).

За властивістю кола, вписаного у чотирикутник, маємо:

АD + ВС = АВ + СD = 59 + 40 = 98 (см). Р_АВСD = 98 • 2 = 196 (см).

Відповідь: 196 см.