Вправи: 521

521. Діагональ рівнобічної трапеції перпендикулярна до бічної

сторони, яка дорівнює 12 см. Знайдіть середню лінію трапеції, якщо радіус кола, описаного навколо трапеції, дорівнює 10 см.

За умовою АС ⊥ СD, отже, ∠ACD = 90°.

За наслідком з теореми про вписані кути маємо: якщо ∠АСD = 90°, отже, АD — діаметр.

АD = 2R = 20 см.

Виконаємо додаткову побудову: висоту СР (СР ⊥ АD). Розглянемо ∆АСD — прямокутний (∠С = 90°). За метричними співвідношеннями у прямокутному трикутнику маємо: СD² = РD • АD; 12² = РD • 20; РD = 14420 = 7,2 (см).

За властивістю рівнобічної трапеції маємо: ВС = АD – 2РD;

ВС = 20 – 2 • 7,2 = 20 – 14,4 = 5,6 (см).

За теоремою про середню лінію трапеції маємо: MN = (АD – ВС) : 2;

МN = (20 + 5,6) : 2 = 25,6 : 2 = 12,8 (см).

Відповідь: МD = 12,8 см.