Вправи: 524

524. У рівнобічну трапецію вписано коло. Точка дотику ділить

бічну сторону на відрізки завдовжки 3 см і 27 см. Знайдіть висоту трапеції.

Висота трапеції дорівнює діаметру кола, вписаному у цю трапецію. За умовою О — центр кола, вписаного у трапецію. Як відомо, центр

вписаного кола є точка перетину бісектрис кутів трапеції. Отже, ОС — бісектриса ∠ВСО, ОD — бісектриса ∠СDА. За означенням бісектриси кута маємо:

∠ВСО = ∠ОСD = 12∠ВСD; ∠СDO =∠ОDА = 12∠СDА.

За властивістю кутів рівнобічної трапеції маємо: ∠ВСD + ∠СDА = 180°, отже, ∠ОСD + ∠СDO = 90°, ∠СОD = 90°. Розглянемо ∆СОD. За метричними співвідношеннями у прямокутному трикутнику маємо: якщо ОN ⊥ СD (ОN — радіус вписаного кола), ОN — висота ∆СОD. ОN² = СN • ND; ОN² = 3 • 27; ON² = 81;

ОN = 9 см, СР = 2ON = 18 см.

Відповідь: 18 см.