Вправи: 517

517. Перпендикуляр, опущений із точки перетину діагоналей ромба на його сторону, дорівнює 2 см і ділить цю сторону на відрізки, які відносяться як 1 : 4. Знайдіть діагоналі ромба.

Розглянемо ∆АОD. За властивістю діагоналей ромба маємо АС ⊥ ВD, ∠АОD = 90°. Отже, ∆АОD — прямокутний. За метричними

співвідношеннями у прямокутному трикутнику маємо: ON² = АN • ND. За умовою АN : ND = 1 : 4. Нехай АN = х см, ND = 4х (см).

х • 4х = 2²; 4x² = 4; x² = 4 : 4; х² = 1; х = 1.

АN = 1 см, ND = 4 • 1 = 4 (см). За аксіомою вимірювання відрізків маємо: АD = АN + ND, АD = 1 + 4 = 5 (см). За метричними співвідношеннями у прямокутному

трикутнику маємо: АО² = АN • АD; АО = AN •AD; AO = 1 •5 = 5 (см). ОD² = ND • АD; ОD = ND •AD; ОD = 4 •5 = 25 (см).

За властивістю діагоналей ромба маємо: АС = 2АО = 25 (см),

ВD = 2ВО = 45 (см).

Відповідь: 25 см, 45 см.