Вправи: 501

501. У трикутнику ABC відомо, що AC = a, AB = BC = b, AM і CK —

бісектриси трикутника. Знайдіть відрізок MK.

Розглянемо ∆АВМ і ∆СВК: 1) АВ = СВ (за умовою). 2) ∠В — спільний.

3) ∠ВАМ = ∠ВСК (∠А = ∠С, ∠ВАМ = 12 ∠А, ∠ВСК = 12 ∠C).

Отже, ∆АВМ = ∆СВК за II ознакою рівності трикутників, з цього випливає, що ВМ = ВК.

Так як ВА = ВС і ВМ = ВК, то КМ ∥ АС.

∠КАМ = ∠МАС (АМ — бісектриса ∠А).

∠КМА = ∠МАС (як внутрішні різносторонні при КМ ∥ АС і січній АМ).

∠КМА = ∠КАМ, тоді ∆АКМ — рівнобедрений з основою АМ, АК = КМ.

Оскільки в ∆АВС КМ ∥ АС, то ∆ВКМ ~ ∆АВС, з цього випливає, що

BKAB = KMBC = BMAC; BKb = KMa = BMb. Нехай АК = КМ = х, тоді

ВК = АВ – АК, ВК = b – х. b- xb = xa; а(b – х) = bх; аb – ах = bх;

ab = ах + bх; аb = х(а + b); х = aba+ b.

Відповідь: aba+ b.