Вправи: 461

461. Із вершини прямого кута трикутника опущено висоту на

гіпотенузу. Скільки подібних трикутників утворилося при

цьому?

1) Розглянемо ∆АВС і ∆ВDС — прямокутні (∠АВС = ∠ВDС = 90°), BD ⊥ АС, тому ∠ВDС = 90°. ∠С — спільний. За І ознакою подібності трикутників маємо: АВС ~ ∆BDC.

2) Розглянемо ∆АВС і ∆ВDА — прямокутні (∠АВС = ∠АDВ = 90°), ∠А — спільний. За І ознакою подібності трикутників маємо: ∆АВС ~ ∆АDВ.

3) Розглянемо ∆АDВ і ∆ВDС — прямокутні (∠ADВ = ∠СDВ = 90°). Нехай ∠С = х. Тоді у ∆АВС з властивості гострих кутів прямокутного трикутника маємо: ∠А = 90° – ∠С = 90° – х. У ∆BDС з властивості гострих кутів прямокутного трикутника маємо: ∠DВС = 90° – ∠С = 90° – х. Отже, ∠А = ∠DВС = 90° – х. За І ознакою подібності трикутників маємо: ∆ВDС ~ ∆АDВ.

Відповідь: ∆АВС ~ ∆АDВ ~ ∆ВDС.