Вправи: 441

441. Два кола із центрами O₁ і O₂ та радіусами 8 см і 12 см відповідно мають тільки одну спільну точку А (точка А лежить між точками O₁ і O₂). їхня спільна зовнішня дотична перетинає пряму O₁O₂ у точці В. Знайдіть відстані від точки В до центрів даних кіл.

Нехай т. М і К — точки дотику зовнішньої дотичної і даних кіл, проведемо радіуси в точки дотику O₁M і О₂М. За властивістю радіусів, проведених в точку дотику, O₁М ⊥ пр. a, О₂К ⊥ пр. a, тоді O₁М ∥ О₂К. Оскільки в ∆KВО₂ проведено О₁М ∥ О₂К, то ∆ВМО₁ ~ ∆ВКO₂, з цього випливає, що BMBK= BO1BO2 = MO1KO2.

Так як т. А лежить між точками О₁ і О₂, то O₁O₂ = R₁ + R₂,

O₁O₂ = 8 + 12 = 20 см. BMBK = BO1BO2 = 812; ВО₂ = ВО₁ + O₁O₂;

ВО₂ = ВО₁ + 20; ВО1ВО1+ 20 = 812; 12ВО₁ = 8(BO₁ + 20);

12ВО₁ = 8ВО₁ + 160; 12ВО₁ – 8ВО₁ = 160; 4ВО₁ = 160; ВО₁ = 160 : 4; ВО₁ = 40 см; ВO₂ = 40 + 20 = 60 см.

Відповідь: ВО₁ = 40 см, ВО₂ = 60 см.