Вправи: 443

443. У рівнобедрений трикутник, основа якого дорівнює 12 см, а бічна сторона — 18 см, вписано коло. Знайдіть відстань між

точками дотику цього кола до бічних сторін трикутника.

Нехай дано ∆АВС — рівнобедрений, АВ = BС = 18 см, АС = 12 см, у ∆АВС вписано коло (0; R), т. М, N, К — точки дотику. Знайдемо МN.

Центр вписаного кола в ∆АВС — точка перетину його бісектрис, отже, ВК — бісектриса ∠В, проведенадо основи АС, тоді ВК — висота, ВК ⊥ АС, ВК — медіана (AK = KC = 12AC = 12 : 2 = 6 см). ∆MBN – рівнобедрений (ВМ = BN як відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола). ВF — бісектриса ∠В, тоді ВF — висота (ВF ⊥ МN), ВF ⊥ MN, ВК ⊥ АС, отже, МN ∥ АС. Якщо в ∆АВС проведено МN ∥ АС, то ∆МВN ~ ∆АВС, з цього випливає, що MBAB = BNBC = MNAC; MB18 = BN18 = MN12; АК = АМ = 6 см (як відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола). АВ = ВМ + MA; ВМ = 18 – 6 = 12 см; 1218 = MN12; MN = 12 •1218 = 8 см.

Відповідь: МN = 8 см.